यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{27} + \frac{y^2}{3} = 1$ पर किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को $A$ और $B$ पर मिलती है,और $O$ मूल बिंदु है,तो त्रिभुज $OAB$ का न्यूनतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

मान लीजिए $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ एक दीर्घवृत्त है। दीर्घवृत्त $E_i$ इस प्रकार निर्मित किए गए हैं कि उनके केंद्र और उत्केंद्रता $E_1$ के समान हैं,और $E_i$ के लघु अक्ष की लंबाई $E_{i+1}$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है $(i \geq 1)$। यदि $A_i$ दीर्घवृत्त $E_i$ का क्षेत्रफल है,तो $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_i\right)$ का मान . . . . . . है।

वक्र $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ के स्पर्श रेखा का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है,है:

वक्र $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर बिंदु $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब तथा $X$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) जिसके अक्ष निर्देशांक अक्ष हैं,और इसकी मुख्य और लघु अक्षों की लंबाई क्रमशः $2a$ और $2b$ है,बिंदुओं $(2,2)$ और $(3,1)$ से होकर गुजरता है,तो $3a^2+5b^2=$

यदि $x+y+n=0, n>0$ दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=3$ का अभिलंब है और $x+my+3=0, m <  0$ दीर्घवृत्त $x^2+5y^2=5$ की स्पर्श रेखा है,तो इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु किस समीकरण को संतुष्ट करता है?